引言

原文来自 Amit Petel 的博客，由游戏古登堡计划翻译整理为中文版，探讨了随机数生成的问题，初步研究了如何生成期望的概率分布，对无论是电子游戏设计还是桌面游戏设计都颇具参考价值。

• 原文：Probability and Games: Damage Rolls
• 翻译：XuLYC
• 审校：Eldath, craft

像《龙与地下城》一类的纸上角色扮演游戏往往通过掷骰子来检定基础伤害（以骰子决定伤害的基础值），这在使用骰子的游戏中很常见。很多计算机上的 RPG 也使用类似的系统来计算伤害和其它属性（力量，魔法点，敏捷等等）。

一般来说你会写一些调用 random() 的代码，通过调整产生的数值和结果来得到适用于你游戏中的情况。这份教程包含三个部分：

• 基本调整-平均值与方差
• 增加非对称性 - 丢弃骰子或增加暴击
• 完全自由生成随机数，并不局限于使用骰子

基础

在阅读这篇文章的时候，我假设你有一个函数 random(N)，能随机返回 0 到 N-1 的整数。

在 Python 中，可以使用 random.randrange(N)；
在 Javascript 中，可以使用 Math.floor(N * Math.random())；
在 C 中，标准库里有 rand() % N，但其性能很差，推荐使用其它随机数生成器；
在 C++ 中，可以用 uniform_int_distribution(0, N-1) 获取一个随机数生成器的对象；
在 Java 中，可以用 new Random() 生成随机数生成器的对象，随后用 .nextInt(N) 来调用它。

很多语言的标准库中并不包含好的随机数生成器，需要第三方库的支持，例如 C 和 C++ 中的 PCG。

让我们从 1 个骰子开始。直方图展示了使用 1+random(12) 掷 1 个 12 面骰子的结果：

由于 random(12) 返回从 0 至 11 的数，而我们需要 1 至 12，因此在其上加了 1。图中 x 轴是伤害；y 轴是产生伤害的概率。在 1 个骰子的情况下，产生 2 点或 12 点基础伤害的概率与产生 7 点的概率是一样的。

对于使用多个骰子的情况，使用骰子游戏中的书写习惯将有利于我们的说明：用 NdS 表示掷 1 个 S 面的骰子 N 次。 例如上文中的掷 1 个 12 面骰子可以写为 1d12；3d4 则是掷 1 个 4 面骰子 3 次，代码可以写为 3 + random(4) + random(4) + random(4)。

damage = 0
for each 0 ≤ i < :
    damage += 1+random()

常数偏移

分布方差

当我们从 2d6 逐步变为 6d2 时，分布变窄了同时峰值向右移动了。在前一节中，我们讨论了其中的偏移，现在我们看一下分布的方差。

function rollDice(N, S):
    # 对 N 个值为 0 至 S 的骰子求和
    value = 0
    for 0 ≤ i < N:
        value += random(S+1)
    return value

function rollDice(N, S):
    # 对 N 个值为 0 至 S 的骰子求和
    value = 0
    for 0 ≤ i < N:
        value += random(S+1)
    return value

非对称性

rollDice(N, S) 的分布是对称的，低于或高于均值的可能性是一样的。在你的游戏中需要这种情况吗？如果不需要的话，我们可以用不同的办法来制造非对称性。

丢弃或重掷骰子

现在我们掷 2 次 rollDice(2, 12) 并且选择高的那次：

roll1 = rollDice(2, 12)
roll2 = rollDice(2, 12)
damage = max(roll1, roll2)

当我们选择 rollDice(2, 12) 和 rollDice(2, 12) 中较高的一个时，我们得到了 0 至 24 的数。另一种获取 0 至 24 的方法则是掷 rollDice(1, 12) 3 次并且对最高的 2 次求和。相较于第一种情况，第二种情况得到的分布更加不对称：

roll1 = rollDice(1, 12)
roll2 = rollDice(1, 12)
roll3 = rollDice(1, 12)
damage = roll1 + roll2 + roll3
# 丢弃最低值
damage = damage - min(roll1, roll2, roll3)

还有一种方法就是重掷点数最低的骰子。这种方法所产生分布的形状和前面方法的很相似，仅仅在细节上有些不一样：

roll1 = rollDice(1, 8)
roll2 = rollDice(1, 8)
roll3 = rollDice(1, 8)

damage = roll1 + roll2 + roll3
# 丢弃点数最低的骰子并重掷
damage = damage - min(roll1, roll2, roll3)
                + rollDice(1, 8)

上面任意一种方法都可以反着用，以得到低值可能性更大的情况。也就是说这种分布只会偶尔产生高值。这些分布经常用来产生伤害，不常用于生成属性。在代码中把 max() 换成 min() 即可实现。

roll1 = rollDice(2, 12)
roll2 = rollDice(2, 12)
damage = min(roll1, roll2)

roll1 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
roll2 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
damage = max(roll1, roll2)

roll1 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
roll2 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
roll3 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
damage = roll1 + roll2 + roll3
# 丢弃最低值：
damage = damage - min(roll1, roll2, roll3)

roll1 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
roll2 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
roll3 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)

damage = roll1 + roll2 + roll3
# 丢弃点数最低的骰子并重掷：
damage = damage - min(roll1, roll2, roll3)
                + rollDice(1
拖拽查看, 8
拖拽查看)

roll1 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
roll2 = rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
damage = min(roll1, roll2)

暴击

damage = rollDice(3, 4)
if random(100) < 
拖拽查看:
    damage += rollDice(3, 4)

其它增加非对称性的方法包括：本次暴击有一定概率触发下一次暴击；用暴击触发第二次攻击，而直接跳过防御阶段；暴击后导致对手的攻击会失误。但是我不会在这里分析多次攻击下的伤害分布情况。

尝试设计你自己的分布

对于每一种随机数（伤害，属性，等等），可以从你期望得到的游戏体验来刻画它的分布特性：

• 取值范围：最小值和最大值是什么？用缩放和平移来调整分布。
• 方差：需要结果更集中吗？越少的骰子数可以造成越大的波动，而越多骰子数产生的波动越小。
• 非对称性：希望经常出现高值或者低值吗？可以在你的分布中加入 min(), max() 或者暴击来得到非对称性。

value = 
拖拽查看 + rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)
# 不取最小值再掷一次取最小值：
value = min(value, 
拖拽查看 + rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看))
# 不取最大值再掷一次取最大值：
value = max(value, 
拖拽查看 + rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看))
# 无暴击暴击：
if random(100) < 
拖拽查看:
    value += 
拖拽查看 + rollDice(
拖拽查看, 
拖拽查看)

还有很多其他的方法来产生不同结构的随机数，但是可以看到，我们介绍的这种方法已经有很大的弹性空间了。点击这里可以查看一个伤害计算器。不过有些时候，掷骰子的组合依然不能满足你的需要。

任意形状的分布

下面开始讨论不同的输入和对应分布的输出。我们会演示各种不同的模式直到深化出我们需要的程度。那么是否存在更直接的方法来得到正确的算法呢？答案是肯定的。

让我们从最基础的部分重新来过，从给定输出结果的直方图开始。让我们试试这个简单例子。

x = random(
拖拽查看+
拖拽查看+
拖拽查看+
拖拽查看)
if      x < 
拖拽查看:        value = 3
else if x < 
拖拽查看+
拖拽查看:     value = 4
else if x < 
拖拽查看+
拖拽查看+
拖拽查看:  value = 5
else:                   value = 6

damage_table = [   
# (权重, 伤害)的数组
    (
拖拽查看, 3),
    (
拖拽查看, 4),
    (
拖拽查看, 5),
    (
拖拽查看, 6),
];

cumulative_weight = 0
for (weight, result) in table:
    cumulative_weight += weight
    if x < cumulative_weight:
        value = result
        break

sum_of_weights = 0
for (weight, value) in table:
    sum_of_weights += weight

x = random(sum_of_weights)

function lookup_value(table, x):
    # assume 0 ≤ x < sum_of_weights
    cumulative_weight = 0
    for (weight, value) in table:
        cumulative_weight += weight
        if x < cumulative_weight:
            return value

function roll(table):
    sum_of_weights = 0
    for (weight, value) in table:
        sum_of_weights += weight

    x = random(sum_of_weights)
    return lookup_value(damage_table, x)

绘制完全自定义的分布

如果能够实现任意形状的分布无疑会是非常好的一种方案。试着在测试区域中尝试绘制任意的分布，并查看对应的代码：

damage_table = [(78,1), (76,2), (55,3), (55,4), (64,5), (67,6), (55,7), (69,8), (71,9), (71,10), (56,11), (29,12), (25,13), (26,14), (71,15), (63,16), (70,17), (63,18), (38,19), (61,20), (62,21), (52,22), (69,23), (62,24), (61,25), (69,26), (73,27), (63,28), (68,29), (71,30), (75,31), (67,32), (79,33), (68,34), (83,35), (69,36), (69,37), (91,38), (72,39), (72,40), (73,41), (71,42), (71,43), (38,44), (37,45), (27,46), (27,47), (28,48), (38,49), (28,50)]

通过上述方法，就能根据自己想要的游戏体验来选择合适的随机分布，而无需拘泥于一定要使用骰子。

结论

生成随机伤害和随机属性是很容易实现的。作为一名游戏设计者，你应当考虑结果分布的特性是怎样的。如果你希望用掷骰子来决定这些数值：

用投掷的次数来控制方差。次数越少波动性越大，次数越多波动性越小。

使用平移和骰子的面数来控制结果的大小。如果你希望随机数在 X 到 Y 之间，则在 N 次掷骰子的过程中每次应当产生 0 到 (Y-X)/N 的随机数，随后再加上 X 得到结果。正向平移可以应用于额外伤害或者额外属性点；负向平移可以用于防御伤害。

使用非对称性来产生更多的高值或者低值。一般来说属性点更可能出现高值，取不同投掷下的最大值，取三个骰子中最大的两个，重掷点数最低的骰子均可以达到这一目的。一般来说伤害更可能出现低值，使用取小或者加入暴击来达到这一目的。一般来说随机事件的难度系数也是更经常出现低值的。

要好好思考你的分布应当怎样左右游戏进程。可以增加简单的参数来改变分布以达到额外攻击，伤害防御，暴击等等。这些参数可以放在游戏的道具上。用上面的自定义区来看看这些参数会如何影响分布。想想当角色升级时，分布应该怎样变化；这个页面介绍了随着进程应增加均值并且降低方差，可以用 AnyDice 来计算分布（附上 blog）。

不同于纸上角色扮演类的游戏，你构造的分布将不局限于对随机数的求和。你可以采用在小节“设计你自己的分布”中介绍的方法，生成任何你自己期望的分布。你可以设计一个可视化工具，让你画出直方图并且保存相应的数据到比例表，然后再从这个分布中抽取随机数。你也可以在 JSON 或者 XML 中编辑比例表。或者可以在 Excel 里面编辑并输出为 .CSV 文件。不含参数的分布给了你很大的可塑性，而使用表存储数据避免将分布写死在代码中，可以让你在不重新编译的情况下进行快速迭代。

仅仅使用简单的代码，也还有很多方法去产生有趣的分布。但是，首先要定下来的应当是你希望分布具有怎样的性质，随后才是写下合适的代码。